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不倒翁与金蛋旋转
作者:张双寅     时间:2010-9-1     点击率:34559

  记得小学时代,桌子上常摆着一个傻官(丑角)模样的不倒翁,学习累了就把它扳一下,它就左右或前后摇摆,纱帽翅上下颤动,并发出哗啦哗啦的响声,十分有趣。不一会儿,它晃累了又回到原来直立位置,憨态可掬。至于不倒翁为何最终总要回到原始的直立状态,当时说不出所以然来。直到后来学习了物理学与理论力学的能量原理,才算彻底懂得了它其中的奥秘。
  不倒翁通常是用泥巴和彩纸制成的,图1是它的一个示意图。用泥巴制作下边的底座,A点与B点之间的两个弧线AmB 与AnB代表两个大小不同的球冠(实心圆球体的一部分),AmB和AnB 两个球冠之间填充泥巴。其他地方是彩纸糊的外壳。所以泥巴的重量几乎就是不倒翁的全部重量;其重心O点位于底边圆弧的曲率半径上,D 点是直立状态底座与桌面的接触点,且直线OD 的长度比圆弧半径小很多。当不倒翁倾斜时(请见图2),重心O点离桌面距离变大,C点是不倒翁倾斜状态与桌面的接触点,E点与中心O高度相同。CE的长度大于OD。并且重心O偏离支点C 的距离为OE, 重力对支点C有一个回复力矩等于mg.(OE)。于是,在恢复力矩作用下不倒翁将摆回平衡位置。不难看出不倒翁的原始平衡位置就是位能最小的位置。

 

  一般而言,球体在水平台面的平衡状态的稳定性,可分三种情况:其一,球体放在一个凹坑的底部,当它受到外力作用离开原来位置时,它的位能变大;撤掉外力,它就要回到原来位置,这种情况,称为“稳定平衡”状态;其二,球体的原始位置处于一个凸起的圆丘顶上,当它受到外力离开原处时,它的位能将变小;这时去掉外力,该球体将滚小凸丘,不会回到原始状态;此球的原始平衡状态是“非稳定平衡”状态;一旦离开原始状态,它的位移将越来越大,力学上称为“失稳”。其三,球体放在没有凹凸的理想平面上,该球可以随意滚动,到哪里都能平衡,称为“随遇平衡”。这三种状态的示意图请见图3。

  

  在国家科技馆里,有一个旋转金蛋的展示项目十分有趣。所谓“旋转金蛋”就是将一个用铁基金属制作的形状为旋转对称的椭球体(一个对称轴的长度大于其它两个轴的长度)。将它放在一个光滑铮亮的薄平板上,薄板的下边是一个由导线缠绕铁磁体构成的电磁场。当给线圈通交流电时,交变电磁场驱动金蛋开始缓慢旋转。一开始,金蛋绕垂直于台面的短轴旋转,随着电流持续作用,金蛋越转越快,在它的转速达到某一速度时,它就自动立起来,绕长轴转动;这时的长轴将垂直台面。持续通电,它将持续转动,直到切断电流,它又缓慢躺下,回到原始的状态。很有趣的现象!那么在它转速快时,为何要竖起来转动呢?是什么力量使它立起来了呢?让我讲讲其中的道理。
  根据理论力学的刚体动力学,一个三轴对称椭球体的转动惯量(即抗拒转动的惯性量)的大小与它的转动轴方向有关。如果椭球的三个轴的长度不同,它具有三个大小不同的转动惯量:令Jx , Jy , Jz 分别代表绕 x, y, z 轴的转动惯量,它们是椭球体质量m, 和三个主轴长度(a, b, c)的函数。 c 是 z轴方向的轴长;对于本文情况,金蛋为旋转椭球体,两个短轴相等,即 a = b; 所以公式可以简化(详见附录1)。

  

  又知刚体转动动能T是椭球体转动惯量Jx , Jy , Jz 和转动角速度的函数,其表达式请见附录2。可见,当转动角速度相同时,绕z 轴转动的动能最小,因为这时的转动惯量最小。
  我们注意到,当金蛋立起来绕长轴转动时,它的重心较高,位能较大;那么,为什么它还要立起来旋转呢?这是由于刚体旋转状态要取它的总量最小的形式(最小能量原理)。下边用图4说明其中的奥秘。
  令金蛋绕短轴旋转为状态I,而金蛋绕长轴旋转为状态II,那么我们可以比较状态I 与状态II 哪个总能量最小呢?现在用UI 与 UII代表两种状态下的总能量,它们等于动能和位能之和。动能T已经在附录里给出,位能(AI, AII)的公式是:AI = hx mg, AII = hz mg, 其中g 是重力加速度。

  

  根据最小能量原理,当UI 〉UII 时,金蛋将奋力站立起来,绕长轴c 旋转。下边求出旋转状态改变的临界旋转角速度,在UI与UII公式中, hx mg 与 hz mg 两项是固定值,和旋转角速度无关,二者之差等于(hz - hx )mg。状态I 和状态II金蛋的旋转动能请见附录2;该附录中也给出了临界转动角速度。当转动角速度达到(与超过)临界角速度时金蛋就要立起来。并且转动角速度越大,UI比UII大得越多,金蛋绕c 轴转动越稳定。这就是金蛋旋转之谜。

 

  在花样滑冰中,运动员在做旋转运动时,一开始两臂伸开,当转速较快时,突然将双臂紧抱在胸前,身体紧紧缩成一小团,转速明显变得更大了。这是因为在转动动能保持恒定时,身体的旋转惯量越小,转速越大。运动员将身体抱紧,就是要将自身的旋转惯量变成最小。
  在弹性力学中有弹性稳定性理论,例如材料力学中的压杆稳定性属于这类问题。一根细而长的弹性杆子(例如房架立柱),受轴向压缩载荷作用;当轴向载荷较小时,压杆岿然直立,这个平衡状态是稳定的。当压缩载荷增加超过某一值(临界载荷)时,压杆的直立平衡状态不再是稳定的;在任何偶发小干扰载荷作用下,压杆将变弯,并且往往弯曲挠度越来越大,直至破坏。这个临界载荷又称为“欧拉载荷”;临界载荷的公式是力学家欧拉建立的。
  所以在设计房屋立柱时,必须考虑它的抗压稳定性。图5是房架立柱受轴压载荷的稳定性示意图。
  对于图5所示的一端固定一端自由的压杆,其临界载荷和压杆长度L 、材料弹性模量E、以及压杆的弯曲惯性矩I 相关;临界载荷公式请参见附录3。杆件越粗,I值越大。所以,长而细的杆子容易失稳;粗而短的压杆稳定性好。