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跷跷板的趣味力学
作者:张双寅     时间:2010-6-3     点击率:32921

图1 跷跷板

  在很多儿童游乐场中多有供幼儿玩耍的跷跷板,如图1所示。两个儿童分别坐在两端,手扶把柄,顺次用脚踏地跷跷板就会一上一下地运动,孩童们非常快乐。
  这里有趣味的力学问题。第一个是理论力学的“平衡问题”,其中又分“静力平衡”与“动力平衡”。试想跷跷板的两端坐的孩子体重相等,他们对跷跷板的端部有相同的向下作用力,理论力学称之为“重力”。由于跷跷板的两端距离跷跷板的中间转轴的距离相等,那么,由两个孩子体重产生的对转轴的作用力矩是相等的。如果无其它外力作用,譬如他们都静静地坐在上边,不用脚踏地,跷跷板将处于静平衡状态,不会产生上下运动。而当一个孩子用脚蹬地,脚蹬地的力使跷跷板两边对中轴的力矩失去平衡,跷跷板将产生绕中轴的转动,就有绕中轴转动的的角加速度,同时两个孩子就有上下运动的加速度。根据达朗贝尔原理,两个孩子的加速度乘上他们的身体质量等于他们具有的惯性力。此外,跷跷板自己的角加速度乘上跷跷板的转动惯量,就是绕转轴转动的动量矩,这个动量矩与脚踏地的作用力和孩子们的惯性力之矢量和对转轴的力矩相平衡;这个平衡称为“动平衡”。理论力学告诉我们,“平面力系平衡的必要条件是力系的主矢FR 和主矩M0等于零。”主矢FR等于两个孩子的体重与跷跷板底座的支反力的矢量和,因为大小相等方向相反,所以FR = 0。同理,无论静平衡还是动平衡,所有作用在跷跷板上的力(包括重力和惯性力)对跷跷板中轴的静、动力矩是平衡的,即大小相等方向相反,所以,M0 = 0。
  现在,有些杂技团将跷跷板引进杂技表演中,用跷跷板的弹力将杂技运动员(简称杂技员)弹到高处,然后落在高高的另一个人塔的肩上,情节十分优美惊险。这就是第二个力学问题,即能量转换和能量守恒原理。这个力学问题可用图2说明。应该提及,这里的跷跷板与儿童游乐场的跷跷板大不相同,它具有很好的弹性。
  我们看到,一个身体硕大的男杂技员(这里用大的箭头A 表示),从某个高处(F0点)跳下,落在跷跷板的一端(F端)。跷跷板的另外一端(E 点)上的身体娇小的女杂技员将被高高弹起,落在两个相叠男人的肩上。假设男杂技员体重是WB,女杂技员的体重为WA,则女杂技员被弹起的高度hA,可由男杂技员的体重WB和他的下跳高度hB,以及女杂技员的体重WA算出,即hA = (hB WB / WA)。可见,如果男杂技员的体重是女杂技员体重的两倍,那么她被弹起的高度将是男运动员下跳高度的两倍。这里所依据的力学理论是理论力学的能量守恒定理。也就是说男杂技员在F0点高处所具有的位能(也叫势能),转变为女运动员在E0处的势能。
  其实,这里包含有势能与动能之间的转换,即男杂技员从高处跳下过程中,他在F0处的势能V1转换为到达F点的动能T1。理论力学的能量守恒定律认为,在重力作用下动能与势能之和为常数,V1 + T1 = 常数。其中V1 = WB(hF0–hF)= WB hB。由于他下跳之前的动能为零,落到F 点之后他的势能V1全部转换为动能T1;所以T1 = WB hB
  假定,忽略跷跷板的摩擦消耗以及空气阻力能耗,那么男杂技员的动能通过跷跷板的弹性全部转变为女运动员的动能。即T1= T2,而后女运动员获得向上运动的速度,将她送到高度E0,于是,她得到了势能V2= T2 = WA hA。这就得到了前边给出的公式。
  严格而言,这里还包含跷跷板弹性变形能和杂技员的动能之间的转换。因为在这段杂技的演出过程中,跷跷板发生了由无变形到变形最大,再变小,而后回复常态的过程。这期间男杂技员的动能,通过跷跷板的弹性变形(能)传递给了女杂技员。如果,跷跷板弹性很差(变形很小),男杂技员落到跷跷板上时受到的冲击会很严重;同时女杂技员也要受到很大的冲击,二人都会很痛苦,这是不可取的。由于跷跷板会产生大的变形,当男杂技员落到跷跷板时,他的动能将渐渐地变成跷跷板的变形能,而后由跷跷板传给女杂技员,变成她的动能,他们的感觉就大不一样了。
  如若再追下去,这里还有动量与冲量的转换,与动量守恒原理。此文就不详述了。